=  /  / T

 = E  m   T

sendo ${\displaystyle W^{Q}(t)}$ um processo de Wiener (também chamado de movimento browniano) sob ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle x}$ a condição inicial para ${\displaystyle X(t)}$.

A fórmula de Feynman–Kac, que recebe este nome em homenagem ao físico norte-americano Richard Feynman e ao matemático polonês Mark Kac, estabelece uma ligação entre equações diferenciais parciais (EDPs) parabólicas e processos estocásticos. A fórmula oferece um método para resolver algumas EDPs pela simulação de caminhos aleatórios de um processo estocástico. Reciprocamente, uma importante classe de valores esperados de processos aleatórios pode ser computada por métodos determinísticos.

Fórmula

Considere a equação diferencial parcial^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}$

definida para todo ${\displaystyle x}$ em R e todo ${\displaystyle t}$ em ${\displaystyle [0,T]}$, sujeita à condição terminal

${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$

em que ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle f}$ são funções conhecidas. ${\displaystyle T}$ é um parâmetro e ${\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ é desconhecido. Então, a fórmula de Feynman–Kac nos diz que a solução pode ser escrita como um valor esperado condicional

${\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}$

sob a medida de probabilidade ${\displaystyle Q}$, tal que ${\displaystyle X}$ é um processo de Itō dirigido pela equação

${\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q},}$

sendo ${\displaystyle W^{Q}(t)}$ um processo de Wiener (também chamado de movimento browniano) sob ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle x}$ a condição inicial para ${\displaystyle X(t)}$.